1 引言
多小波分析是一种基于小波理论的近几年发展起来的新理论，多小波可同时具有对称性、正交性、短支撑性、高阶消失矩等属性，而这些属性是传统实系数小波不能同时具有的[1]。多小波有许多构造方法，如Geronimo等人[2]应用分形插值方法构造了具有短支撑、正交性、对称性和二阶消失矩属性的GHM多小波，Chui等人[3]利用多小波的正交性、紧支撑性、对称性和插值性构造了CL(Chui-Lian)多小波，Jiang[4]利用时频分析中的窗函数性质构造了具有最优时频分辨率的Jiang系列多小波，Mariantonia Cotronei等人[5]利用Hurwitz块矩阵和Gram矩阵构造了半正交多小波。本文在介绍CL多小波理论的基础上，深入探讨了CL多小波的预处理方法，并将其应用于电力系统正弦信号数据和故障暂态数据的压缩，还比较了GHM多小波与CL多小波的数据压缩效果。
2 CL多小波的基本理论
小波分析中的多分辨率即是将平方可积信号f∈L2(R) 的逐级逼近视为采用低通平滑函数φ(t) 对f(t) 作平滑滤波的结果，且逐级逼近时平滑函数φ(t)也作逐级伸缩。一个多分辨率分析由一个尺度 函数生成，且包含一个经平移与伸缩构成L2(R) 空 间基的小波函数。类似地，多小波分析中也存在多分辨率分析，一个多分辨率分析由多个尺度函数生成，且包含多个经平移与伸缩构成L2(R) 空间基的 小波函数，这些小波函数即称为多小波[6]。
多小波的多尺度函数φ(t)和多小波函数Ψ(t)满足以下二尺度矩阵方程[3]
式中 0≤k≤L ，Hk 和Gk 为r×r维系数矩阵；L为多小波滤波器长度；r为多小波维数。根据多小波的多分辨率分析，有如下快速多小波分解与重构公式[7]
式中 
为多小波分解和重构的低频系数；
为多小波分解和重构的高频系数；
分别为Hk 和Gk 的复共轭矩阵。
位于区间[0,2]上的CL多小波的两个尺度函数φ1(t)、φ2(t)和两个小波函数Ψ1(t)、Ψ2(t)的支撑区间均为[0,2]；位于区间[0,3]上的CL多小波的两个尺度函数φ1(t)、φ2(t)和两个小波函数Ψ1(t)、Ψ2(t)的支撑区间均为[0,3]。为方便起见，作者根据Daubechies系列小波的定义方式，将上述两种CL多小波暂称为CL3多小波和CL4多小波(即它们的滤波器长度分别为3和4)，CL4多小波的滤波器系数矩阵[3]为
式中 H0 、H1 、H2 、H3 为低通滤波器系数矩阵；G0 、G1 、G2 、G3 为高通滤波器系数矩阵；下标0、1、2、3表示系数矩阵的次序，与传统小波的滤波器系数序列相同；S=diag[1,-1] 。
根据多小波的尺度矩阵方程绘出CL4多小波的尺度函数φ1(t)、φ2(t)和小波函数Ψ1(t)、Ψ2(t)的时域波形和频域响应波形分别如图1和图2所示。
与传统小波相比，CL多小波具有更为优良的属性：CL多小波的尺度函数和小波函数均具有紧支撑属性，使其具有良好的局域性；两个尺度函数分别与两个小波函数对称和反对称，保证其具有线性相位；CL多小波是正交的，使其变换后保持能量衡定；CL3多小波具有二阶逼近阶，CL4多小波具有三阶逼近阶，使其具有良好的逼近性能，GHM多小波与CL4多小波相似，滤波器长度均为4，但其逼近阶仅为二阶。
3 CL多小波的预处理方法
3.1 采用预处理方法的必要性
与传统小波相比，多小波在实际应用中必须解决的关键问题是对原始信号的预处理。预处理的关键问题是：①由于多小波的尺度函数和小波函数是多维的，而需处理的信号一般是一维的，必须对所有多小波的原始信号进行预处理；②不同的预处理方法对多小波应用性能的影响非常大，怎样根据应用需要选择相应的最优预处理方法是多小波应用的关键问题。
如不采用预处理方法，简单的方法是将一维信号分解为其多相形式
式中 z=ejω 。CL4多小波的低通滤波器响应H1(ω)和H2(ω)分别为
同理可求出其相应的高通滤波器响应G1(ω)和G2(ω)，如图3所示。
由图3可见，CL4多小波的低通滤波器和高通滤波器响应均表现出带通和带阻两种不相同的属性，其他多小波也有类似属性，这种现象易导致多小波的低通和高通频带相互混叠，不利于分解和重构信号，即如不采用有效的预处理方法，多小波不能像传统小波那样对信号很好地进行去噪和压缩等处理。
目前多小波的预处理方法主要分为两类：预滤波(prefilter)法[8]和采用平衡多小波(balanced multiwavelet)法[9]。
3.2 预滤波法
对于预滤波方法的研究主要集中在GHM多小波的预滤波，本文将文[5]提出的odd/even、deriv.、Haar、mod.Haar预滤波法和文[10]提出的预滤波法应用于CL4多小波。经大量仿真分析后，作者认为采用Haar法可取得较好的滤波效果，图4为Haar预滤波方法对CL4多小波原有滤波器响应的影响。
由图4可见，Haar预滤波法在一定程度上改善了CL4多小波两个低通滤波器和两个高通滤波器的响应。
3.3 平衡多小波法
多小波低通部分如有不同的频谱属性，会使通道不平衡和复杂化矢量化过程，矢量化过程的多相方法产生了混合粗细分辨系数，仅用粗分辨系数重构信号时将产生强烈的振荡，称为不平衡现象[9]。消除多小波不平衡现象的方法是构造平衡多小波，主要有两种构造方法：采用复Daubechies小波系列滤波器构造平衡多小波和平衡已有的不平衡多小波(简称平衡法)。
以下采用平衡方法来平衡CL4多小波，平衡算子为
，平衡后CL4多小波的低通和高通滤波器分别为
CL4多小波的低通合成算子LT 和高通合成算子TT 满足等式
式中 u1=[...,1,1,1,1,...]T ，即矢量 在低通支路 保持不变，在高通支路被取消，这时CL4多小波即是平衡的多小波
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