2 一种分析谐波的近似算法
分析谐波最常用的算法是DFT或快速Fourier变换(FFT)，两者的原理一致。根据数字信号处理原理可知， DFT交换的作用相当于将采样点数为N的序列通过N个并行的滤波器，各滤波器的输出即为DFT变换的结果，各滤波器的中心频率分别为k/(NTs)(其中Ts为采样周期； k＝1，2，…，N)。对于周期信号，在满足同步采样的情况下，第k次谐波的频率与其中一个滤波器的中心频率是重合的。但是，当采样不同步时，第k次谐波的频率与该滤波器的中心频率会有一定偏差，这时第k次谐波通过滤波器就会有衰减。这个衰减会随着失步程度的增加而迅速增加。此外，采样不同步时，其他次谐波和基波的频率不对应滤波器的零点，因此谐波不可能被完全滤除，这又会造成混叠。在实际测量中，一般很难做到采样的完全同步，而只能是接近于同步。此时，若直接用DFT或FFT分析谐波，无疑会产生误差，且这个误差的大小决定于失步程度和滤波器的特性。[FS:PAGE]
设采样窗口宽度为TW， fW＝1/TW，窗函数为w(t)，对被测函数x(t)加窗后做DFT变换，则在频谱中kfw处的值为
(11)
由以上讨论可知，采样不同步时，用DFT或FFT分析谐波可能会产生较大的误差； 而同步采样在很多场合又往往不易实现。提出一种新的近似的谐波分析算法，采用它，可在固定采样频率的条件下较准确地算出基波和各整数次谐波。具体是利用式
(12)
来计算谐波。式(12)中， ωk为第k次谐波的角频率。本算法的实质为当采样不同步时，因子e-jωknTs的频率始终与k次谐波的频率一致，从而能保证带通滤波器的中心频率与k次谐波的频率一致，因此可有效地消除不同步引起的误差。为计算e-jωknTs，需要知道被测信号的基波频率，这可采用本文第1节所提出的频率测量新方法测出。由于采样不同步时不能保证整周期采样，会产生截断误差，选择Hanning窗乘以因数2为窗函数来有效地减少截断误差(乘以因数2的目的是使带通滤波器中心频率处的幅值为1)。相对于DFT， 新算法在信号频率变化时需要重新计算e-jωknTs这一项，其他计算量与DFT相同，因此总计算量不大。采用新算法时，仍希望采样尽量接近整周期，以减小截断误差的影响。
与DFT相比较，该算法在改换旋转因子项为e-jωknTs的同时，仍利用了原有的采样序列x′(n)。 这种非“原配”的组合决定了此法是一种近似算法，存在方法误差。
为验证上述算法是否有实用价值，对仿真信号进行了测量和分析。给定被测信号的基波频率为49.9Hz； 除基波外，被测信号还含有11， 12， 23， 25， 35和37次谐波，它们的幅值A和初相位φ见表2。 采样参数为采样频率6.4kHz，样本数1024点。这样，对于50Hz的信号，正好可以采样8个周期，每个周期可采128点。测量出的频率为49.90054Hz， 其他分析结果见表2，为与DFT比较，表2中同时给出了直接用DFT分析得到的结果。
