一种高精度的电力系统谐波分析算法

式中 f_i为第i次谐波频率；A_i、j_i分别为第i次谐波幅值及相角；m为最高谐波次数。
    信号在满足香农(Shannon)采样定理的条件下以采样频率f_s对其进行采样。当对信号的采样频率f_s不是基频f₀的整数倍时，基频信号的频率可表示为

式中 N为采样点数；f_s/N称为频率分辨率；k₀为整数；d₀为小数。
    d₀的物理意义见图1，信号的采样值为

    海宁窗是余弦窗的一种，通常信号加窗都是在时域进行的，而对于余弦窗，可以先对信号进行傅立叶变换，然后在频域进行处理。海宁窗的N点(N为偶数)对称表达式为

由于在离散傅立叶变换中使用海宁窗的加窗序列是单边的，因此用于FFT加窗的海宁窗函数应为^[1]

加海宁窗的离散傅立叶变换为

    根据FFT和余弦窗函数的相关公式，可严格地推导出加海宁窗的插值公式来分别对频率、幅值和相位进行校正^[7]。其基频的校正公式为

将式(8)代入式(2)，即可得到准确的电力系统基波频率。

3 基于自适应线性神经元结构的谐波分析原理
    自适应线性(Adaline)神经元是由Widrow和Hoff最早提出的一种神经元模型，并被广泛应用于自适应信号的处理领域^[8]，其结构原理如图2所示。

    图中，X_0k,X_1k,X_2k,X_3k,…,X_nk为Adaline神经元在时刻k的输入。输入信号的向量形式表示为X_ik = [X_0k,X_1k,X_2k,X_3k,…,X_nk]^Ｔ，该向量称为Adaline神经元的输入模式向量。每组输入信号都有一组相应的权值：W_0k, W _1k,W _2k,W _3k,…,W _nk。每组权值的向量形式表示为W _ik =[ W _0k, W _1k, W _2k, W _3k,…,W _nk]^Ｔ,该向量称为权向量。Adaline神经元的输出定义为

      Adaline神经元的工作过程是:将理想响应信号y(k)与Adaline神经元的输出信号进行比较，并将差值e(k)送到学习规则中，根据学习规则调整权向量W _ik，使和所要求的输出y(k)相一致。
    Adaline神经元的学习规则称为Widrow-Hoff d规则，也称最小均方差算法（LMS）。根据Widrow-Hoff d 规则，权向量调节公式为^[9]

式中  w₀为电力系统基波角频率，w₀=2pf₀；i为谐波次数；A₀为直流分量。
    在w₀ 已精确求出的情况下，式(11)满足正交线性，可以应用Adaline神经元对其进行谐波分析。设Adaline神经元的输入模式向量为

权向量的初始值全部置0，即W(0)=[0,0,…,0]，权向量调节公式为式(10)。实验研究^[4,5]表明：用于电力系统谐波分析的Adaline人工神经网络的学习速率h取值在0.016~0.017之间有较高的调节精度和较好的收敛速度。经过大量的算例验证，本文推荐采用0.016。将采样数据对Adaline神经元进行训练，以理想的响应信号y(k)与Adaline神经元的输出信号的差值e(k)作为精度控制条件，训练之后得到的权向量即为A₀、A_icosj_i和A_isinj_i。一般对精度要求越高，训练的点数越多，但在满足测量精度要求的条件下，过分提高精度是没有实际意义的。
4  FFT-Adaline电力系统谐波分析算法的提出
    国家标准中对电力系统谐波的测量制定了相关导则[FS:PAGE]^[9]，将在某一时段内测得的波形离散后进行离散傅立叶变换